Scrapbooking avec GeoGebra

Dans le cadre d'une activité de scrapbooking, on cherche à construire deux supports, l’un de forme carrée, l’autre triangulaire. On souhaite que ces deux supports aient la même longueur totale, c’est-à-dire le même périmètre. On va utiliser le logiciel GeoGebra pour trouver la solution. Pour cela, on trace :

• un segment [AB] de longueur 10 cm avec un point M sur ce segment ;
  
• un carré de côté [AM] et un triangle équilatéral de côté [MB].
  

Problématique   Quelle doit être la longueur du carré pour que ce dernier et le triangle aient le même périmètre ?

Partie A   Construction de la figure

On veut obtenir la figure suivante.

  Pour cela, suivre la procédure ci-dessous.

• Créer un curseur P variant de 0 à 10 avec un incrément (pas) de 0.1 en utilisant :

• Créer le segment [AB] de longueur 10 cm en utilisant l'outil :
• Créer un segment AC de longueur P en utilisant le même outil que précédemment. En cliquant sur le point C obtenu, le renommer M.
  
• Créer le carré de côté [AM] : on utilise l'outil polygone régulier puis on clique sur les points A et N.
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• Dans la fenêtre qui s'ouvre, on entre « 4 » (nombre de sommets du carré).
  
• Créer le triangle équilatéral de côté [BM]. On utilise le même outil que précédemment en cliquant sur les points M et B. On entre « 3 » (nombre de sommets du triangle).
  
• Faire un clic droit sur les points D, C et E et décocher « afficher l'étiquette ».
  
• Décocher l'étiquette pour toutes les étiquettes du segment.
  
• Afficher les périmètres du carré et du triangle en utilisant l'onglet :
  

• Afficher les longueurs AM et MB et cliquer dans le polygone.
  
• On peut déplacer l'étiquette avec l'outil et la placer au-dessous de la figure.

Partie B   Utilisation du logiciel

1. Déplacer le curseur P. Que peut-on remarquer ?

2. Trouver à l'aide du curseur P la position du point M la plus proche possible pour que le carré et le triangle aient approximativement à 0,1 près le même périmètre.

Partie C  Résolution algébrique
On appelle `x`  la longueur AM. Exprimer en fonction de  `x` :

• le périmètre du carré ;
  
• la longueur MB ;
  
• le périmètre du triangle équilatéral.
  

1. Traduire l'énoncé par une équation.

2. Résoudre cette équation de manière « classique » en donnant la valeur approchée de la solution  au millième près.

3.  Comparer avec la valeur donnée précédemment. 

4.  Conclure en répondant à la problématique.

Partie D   Comparaison des aires

Quelle est des deux parties celle qui a la plus grande aire ? Pour répondre à cette question :

• avec l’outil « Aire » du logiciel, donner la valeur de chaque aire ;
  
• en utilisant les formules d’aires, vérifier ces valeurs.